MA.5.3 积分的应用

#单变量函数微分学 #积分

积分的应用

一、微元法

设整体量 $Q$ 与区间 $[a, b]$ 相关, 且具有可加性, 即

Q ([a, c]) + Q ([c, b]) = Q ([a, b]), (a \leq c \leq b)

若 $Δ Q_{i} \approx f (ξ_{i}) Δ x_{i}$ , 则 $Q = \int_{a}^{b} f (x) d x$ , 此为微元法

步骤

在 $[a, b]$ 上取长度为 $Δ x = d x$ 子区间 $[x, x + d x]$
写出 $[x, x + d x]$ 上部分量 $Δ Q \approx d Q = f (x) d x$
结论 $Q = \int_{a}^{b} f (x) d x$

Proof

设 $f$ 连续，其在 $[x ， x + Δ x]$ 上最大值为 $M (Δ x)$ ，最小值为 $m (Δ x)$ 若
$\begin{aligned} m (Δ x) Δ x & ⩽ Δ Q ⩽ M (Δ x) \cdot Δ x \\ m (Δ x) & ⩽ \frac{Δ Q}{Δ x} ⩽ M (Δ x) \end{aligned}$
$\begin{aligned} \overset{Δ x \to 0}{\Rightarrow} f (x) \leq lim_{Δ x \to 0} \frac{Δ Q}{Δ x} \leq f (x) \\ 故 Q^{'} (x) = f (x) \Rightarrow d Q = f (x) d x \end{aligned}$

应用:

二、平面曲线弧长

如何定义一段曲线弧的长度?

可求长曲线

Definition

在曲线 $l$ 上依次取分点 $T : A = M_{0}, M_{1}, \dots, M_{n} = B$

连内折线. 记线段 $M_{i - 1} M_{i}$ 的长度为 $| M_{i - 1} M_{i} |$ ,

$∥ T ∥ = max_{1 < i \leq n} | M_{i - 1} M_{i} |$ , 则 $I$ 的弧长

s (l) \overset{def}{=} lim_{∥ T ∥ \to 0} \sum_{i = 1}^{n} | M_{i - 1} M_{i} | \dots (有极限只需有上界)

此时 $l$ 称为 #可求长曲线

弧微分公式

$s (x)$ 为弧长函数

#弧微分公式

$\begin{aligned} d s & = \sqrt{1 + f^{' 2} (x)} d x \dots 直角坐标方程 \\ = \sqrt{x^{' 2} (t) + y^{' 2} (t)} d t \dots 参数方程 \end{aligned}$

微元法：直观但不严谨

Proof 直角坐标方程

$\begin{aligned} Δ S & = \overset{⏜}{P P^{*}} \approx | P P^{*} | \\ = \sqrt{Δ x^{2} + Δ y^{2}} \\ = \sqrt{1 + {(\frac{Δ y}{Δ x})}^{2}} Δ x \\ \approx \sqrt{1 + f^{' 2} (x)} Δ x (Δ x \to 0) \end{aligned}$

Proof 参数方程

$\begin{aligned} \approx \sqrt{{(x^{'} (t) Δ t)}^{2} + {(y^{'} (t) Δ t)}^{2}} \\ = \sqrt{x^{' 2} (t) + y^{' 2} (t)} Δ t (Δ t > 0) \end{aligned}$

图中的三角形为弧微分三角形：三边 $d x, d y, d s$

因此可得到

弧长公式

#弧长公式/直角坐标

设 $l : y = f (x) \in C^{(1)} [a, b]$ , 则

s (l) = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + f^{' 2} (x)} d x (a < b)

#弧长公式/参数方程弧

设 $l : x = x (t), y = y (t) \in C^{(1)} [α, β]$ , 则

s (l) = \int_{α}^{β} \sqrt{x^{' 2} (t) + y^{' 2} (t)} d t (α < β)

#弧长公式/极坐标方程

若 $l : r = r (θ) \in C^{(1)} [α, β]$ , 则

s (l) = \int_{α}^{β} \sqrt{r^{2} (θ) + r^{' 2} (θ)} d θ (α < β)

Proof

$\begin{aligned} x = r (θ) \cos θ, y = r (θ) \sin θ \\ x^{'} = r^{'} (θ) \cos θ - r (θ) \sin θ \\ y^{'} = r^{'} (θ) \sin θ + r (θ) \cos θ \\ d s = \sqrt{x^{' 2} + y^{' 2}} d θ = \sqrt{r^{2} (θ) + r^{' 2} (θ)} \end{aligned}$

例题

Example

例1 求曲线 $y = x^{2}$ 上点 $(- 1, 1)$ 与 $(1, 1)$ 间的弧段长.

Solution

$\begin{aligned} S & = \int_{- 1}^{1} \sqrt{1 + 4 x^{2}} d x \dots (1) 2 x = \tan θ \\ = 2 \int_{0}^{1} \sqrt{1 + 4 x^{2}} d x \\ = {2 x \sqrt{1 + 4 x^{2}} |}_{0}^{1} - 2 \int_{0}^{1} \frac{4 x^{2} + 1 - 1}{\sqrt{1 + 4 x^{2}}} d x \\ = 2 \sqrt{5} - S + \int_{0}^{1} \frac{d (2 x)}{\sqrt{1 + (2 x)^{2}}} \end{aligned}$
$\sqrt{5} + \frac{1}{2} \ln (2 + \sqrt{5})$

Example

例2 求曲线 ${\begin{cases} x = \arctan t \\ y = \frac{\ln (1 + t^{2})}{2} \end{cases} (0 \leq t \leq 1)$ 弧长.

Solution

$\begin{aligned} s & = \int_{0}^{1} \sqrt{{(\frac{1}{1 + t^{2}})}^{2} + {(\frac{t}{1 + t^{2}})}^{2}} d t \\ = \int_{0}^{1} \frac{d t}{\sqrt{1 + t^{2}}} \\ = \ln (1 + \sqrt{2}) \end{aligned}$

Example

例3 求心脏线 $r = a (1 + \cos θ) (a > 0)$ 全长.

Solution

$\begin{aligned} s & = \int_{0}^{2 π} \sqrt{a^{2} (1 + \cos θ)^{2} + a^{2} \sin^{2} θ} d θ \\ = a \int_{0}^{2 π} \sqrt{2 + 2 \cos θ} d θ \\ = a \int_{0}^{2 π} \sqrt{4 \cos^{2} \frac{θ}{2}} 二倍角 \\ = 2 a \int_{0}^{2 π} | \cos \frac{θ}{2} | d θ 注意根号！ \\ = 8 a \end{aligned}$

Example

例 4 求椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 周长.

Solution

$\begin{aligned} x & = a \cos θ, y = b \sin θ \\ s & = 4 \int_{0}^{π / 2} \sqrt{a^{2} \sin^{2} θ + b^{2} \cos^{2} θ} d θ \\ = 4 \int_{0}^{π / 2} \sqrt{a^{2} - ⟨ a^{2} - b^{2} ⟩ \cos^{2} θ} d θ \\ = 4 a \int_{0}^{π / 2} \sqrt{1 - e^{2} \cos θ} (e = \frac{c}{a} \in (0, 1)) \end{aligned}$

遗憾的是， $e \in (0, 1)$ 时属于不可积函数 => 需要查 椭圆积分表(近似)

该类函数被称为椭圆的第二类积分

三、平面图形面积

#平面图形面积/参数方程

若 $y = f (x) \geq 0$ 的参数方程为 $x = x (t)$ , $y = y (t)$ , 且 $x (α) = a, x (β) = b$ , 则曲线 $y = f (x)$ , 与直线 $x = a, x = b$ 及 $x$ 轴所围面积

A = \int_{a}^{b} f (x) d x \overset{x = x (t)}{=} \int_{α}^{β} y (t) x^{'} (t) d t

Example

例5 求椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 所围面积

Solution

$\begin{aligned} A & = 4 \int_{0}^{a} y d x \overset{x = a \cos θ}{=} 4 \int_{\frac{π}{2}}^{0} b \sin θ (- a \sin θ) d θ \\ = 4 a b \int_{a}^{\frac{π}{2}} \sin^{2} θ d θ = π a b . \end{aligned}$

#平面图形面积/极坐标方程

曲线 $r = r (θ) (θ \in [α, β])$ 与射线 $θ = α$ 及 $θ = β$ 所围面积

A = \frac{1}{2} \int_{α}^{β} r^{2} (θ) d θ

Proof

以 $d θ$ 为圆心角，最小和最大半径分别做两个扇形

$Δ A$ 被 $\frac{1}{2} r^{2} (v) d θ$ 最大/小值夹住 $\Rightarrow Δ A \approx \frac{1}{2} r^{2} (θ) d θ, d A = \frac{1}{2} r^{2} (θ)$

Example

例6 求曲线 $C : {(x^{2} + y^{2})}^{2} = a^{2} (x^{2} - y^{2})$ (双纽线) 所围面积

Solution

$r^{4} = a^{2} r^{2} \cos 2 θ \Rightarrow r^{2} a^{2} \cos 2 θ = 0$

只需算4倍的第一象限面积

注意：范围不是 $0 \sim π / 2$ ,而是 $0 \sim π / 4$

$A = 4 \times \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{4}} a^{2} \cos 2 θ d θ = {a^{2} \sin 2 θ |}_{0}^{π / 2} = a^{2}$

四、旋转体体积(平行截面面积已知的体积)

#旋转体/体积/薄片法

设立体 $Ω$ 夹于平面 $x = a, x = b$ 间, 过点 $(x, 0)$ 且垂直 $x$ 轴平面截 $Ω$ 的截面面积 $S (x)$ , 则 $Ω$ 的体积

V = \int_{a}^{b} S (x) d x

#旋转体积公式/薄片法

曲线 $y = f (x)$ 与 $x = a, x = b$ 及 $x$ 轴所围图形绕 $x$ 轴旋转

V_{x} = π \int_{a}^{b} f^{2} (x) d x, x \in [a, b]

与

y

轴所围图形绕

y

轴旋转体积公式

$V_{y} = π \int_{c}^{d} g^{2} (y) d y, y \in [c, d]$

Example

例7 求正弦曲线 $y = \sin x (0 \leq x \leq π)$ 与 $x$ 轴所围图形绕坐标轴旋转的旋转体体积.

Solution

$V_{x} = π \int_{0}^{π} \sin^{2} x d x = \frac{π^{2}}{2}$

$V_{y}$

$\begin{aligned} l_{Left} : x = \arcsin y 0 \leq y \leq 1 \\ l_{Right} : x = π - \arcsin y 0 \leq y \leq 1 \\ V y = π \int_{0}^{1} (π - \arcsin y) d y - π \int_{0}^{1} \arcsin y d y \\ = π \int_{0}^{1} (π^{2} - 2 π \arcsin y) d y \\ = 2 π^{2} \end{aligned}$
$⟹ V_{x} = \frac{π^{2}}{2} V_{y} = 2 π^{2}$

#旋转体积公式/薄壳法

曲线 $y = f (x)$ 与 $x = a, x = b$ 及 $x$ 轴所围图形绕 $y$ 轴旋转所得旋转体体积

V = 2 π \int_{a}^{b} x y d x = 2 π \int_{a}^{b} x f (x) d x

Proof

$\begin{aligned} Δ V & \approx π \underset{底面积}{\underset{⏟}{[(x + d x)^{2} - x^{2}]}} \underset{高}{\underset{⏟}{f (x)}} (被夹住) \\ = π (2 x d x + (d x)^{2}) f (x) \\ \approx 2 π x f (x) d x \\ \Rightarrow d V & = 2 π x + f (x) d x \end{aligned}$

五、旋转体侧面积

#旋转面

曲线 $y = f (x) \geq 0 (a \leq x \leq b)$ 绕 $x$ 轴旋转所得曲面称为 旋转面

侧面积（圆台状）不一定能被圆柱的侧面积夹住，不能用圆柱侧面积
=> 使用圆台的侧面积

微元区间 $[x, x + d x]$ 所对应带形曲面面积

#旋转面/面积

$S = 2 π \int_{a}^{b} f (x) \sqrt{1 + f^{' 2} (x)} d x$

Proof
$\begin{aligned} Δ S \approx d S & = \frac{1}{2} \cdot 2 π [f (x) + f (x + d x)] d s \\ = 2 π f (x) d s \\ = 2 π f (x) \sqrt{1 + f^{' 2} (x)} d x \end{aligned}$
故旋转面侧面积
$S = 2 π \int_{a}^{b} f (x) \sqrt{1 + f^{' 2} (x)} d x$

Example

例8 求正弦曲线 $y = \sin x (0 \leq x \leq π)$ 绕 $x$ 轴旋转所成曲面的面积.

Solution
$\begin{aligned} S & = 2 π \int_{0}^{π} \sin x \sqrt{1 + \cos^{2} x} d x \\ = - 2 π \int_{0}^{π} \sqrt{1 + \cos^{2} x} d \cos x \\ \overset{u = \cos x}{=} 2 π \int_{- 1}^{1} \sqrt{1 + u^{2}} d u \\ = 4 π \int_{0}^{1} \sqrt{1 + u^{2}} d u \\ = 2 π [\sqrt{2} + \ln (1 + \sqrt{2})] \end{aligned}$

#旋转面/参数面积

$S = 2 π \int_{α}^{β} y (t) \sqrt{x^{' 2} (t) + y^{' 2} (t)} d t (α < β)$

Example

例9 求星形线 ${\begin{cases} x = a \cos^{3} t, \\ y = a \sin^{3} t, \end{cases}, (0 \leq t \leq π)$ 绕 $x$ 轴旋转所得旋转面面积.

Solution
$\begin{aligned} S & = 2 \cdot 2 π \int_{0}^{π / 2} a \sin^{3} t \sqrt{{[3 a \cos^{2} t (- \sin t)]}^{2} + {(3 a \sin^{2} t \cos t)}^{2}} d t \\ = 12 π a^{2} \int_{0}^{π / 2} \sin^{3} t \sqrt{\cos^{4} t \sin^{2} t + \sin^{4} t \cos^{2} t} d t \\ = 12 π a^{2} \int_{0}^{π / 2} \sin^{4} t \cos t d t \\ = \frac{12 π a^{2}}{5} \end{aligned}$